3. Распространение электромагнитных импульсов в подземной среде.
Копейкин В.В.
1. Введение.
Освоение георадара (сверхширокополосного радиолокатора для зондирования подземных неоднородностей) требует некоторого уровня знаний в области электродинамики и распространения радиоволн. В настоящей работе приведен минимум сведений из этих областей, которые позволят начать изучение прибора и приступить к работе с ним.2. Исходное волновое уравнение.
Все волновые уравнения электродинамики являются следствием полной системы уравнений Максвелла, которую мы выпишем ниже, используя систему единиц СИ [1]
(1)
(2)
вместе с материальными уравнениями среды
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
При выводе уравнений для подземной радиолокации мы пренебрежем членом
в (7), а в уравнении (4) будем считать
.
Практически для всех подземных сред эти предположения справедливы. Волновое уравнение для электрической компоненты
можно получить следующим путем. Продифференцируем
уравнения (1) и (7) по времени
,
а уравнение (2) по пространственным координатам, используя дифференциальный оператор
, после чего получим:
Из этих уравнений следует волновое уравнение для электрической компоненты
электромагнитной волны в среде, характеризуемой диэлектрической проницаемостью
и проводимостью
:
(8) Здесь
- скорость света в вакууме.
3. Суммарно-разностная аппроксимация волнового уравнения.
Воспользуемся суммарно-разностной аппроксимацией дифференциальных операторов и запишем для цифровой функции
,
которая будет соответствовать компоненте электрического вектора
,
цифровой аналог одномерного волнового уравнения (8) в координатах
.
(9)
Уравнение (9) соответствует явной условно устойчивой второго порядка точности конечно-разностной схеме на равномерной сетке с шагом
по пространственной оси
и с шагом
по временной оси
.
Верхние индексы при волновой функции
обозначают номера узлов сетки по временной координате, нижние – номера узлов по пространственной координате.
Волновая функция на временном слое
выражается через функцию в предыдущие моменты времени как
(10)
Решение уравнения (10) устойчиво при выполнении условия [2]:
(11)
Ниже приведем программу расчета волнового поля
,
выполненную в системе программирования “ MATLAB ”, которая производит расчеты по формуле (10)
с автоматическим выбором шага (11).
%------- ONE DIMENTION WAVE EQUATION
%------- FOR ELECTRIC FIELD E(x,t)
clear
pack
close all
%---------PARAMETERS FOR NUMERICAL CALCULATION
X=3; %---- max depth, m
T=40e-9; %---- max time, sec
dt=0.05e-9; %---- step on T, sec
XP=0.8; %---- disdant of crossection, m
%-----------PARAMETERS OF THE SOIL
D1=1.5; %---- depth of the 1-st layer, m
eps1=6; %---- permitivity of the 1-st layer
sig1=0.; %---- conductivity of the 1-st layer, sim/m
Delta=0.; %---- width of the boundary, m
eps2=12; %---- permitivity of the 2-nd layer
sig2=0.; %---- conductivity of the 2-nd layer, sim/m
%------ calculation of the dx-step from stability condition
c=3e8; %---- light velocity, m/sec
mu0=4*pi*1e-7; %---- magnetic permeability
emin=eps1;
if eps2<eps1
emin=eps2;
end
dx=sqrt(dt^2*c^2/emin);%--step on X
dx=1*dx
%----------------------------INITIAL ELECTRIC FIELD AT X=0
NX=round(X/dx);
NT=round(T/dt);
E=zeros(NT,NX);
a=1.e9;
b=1.2e9;
v=.1e9;
for cnt=1:NT
t1=(cnt-1)*dt;
E(cnt,2)=cos(a*t1)*exp(-b*t1)*v*t1;
t2=(cnt)*dt;
E(cnt,1)=cos(a*t2)*exp(-b*t2)*v*t2;
end
%---------------------------END OF PARAMETRISATION
%-------------------------------------------------
%----------------COUNT
%-----------------------------creation of the soil
n1=round(D1/dx);
nD=round(Delta/dx);
for cnx=1:NX
eps(cnx)=eps1;
sig(cnx)=sig1;
end
for cnx=1:nD
eps(cnx+n1)=eps1+(eps2-eps1)/nD*cnx;
sig(cnx+n1)=sig1+(sig2-sig1)/nD*cnx;
end
for cnx=n1+nD:NX
eps(cnx)=eps2;
sig(cnx)=sig2;
end
%----------------------------- count of the wave equation
for cnt=2:NT-1
for cnx=2:NX-1
E(cnt+1,cnx)=c^2/eps(cnx)*dt^2/dx^2*(E(cnt,cnx+1)-2*E(cnt,cnx)+E(cnt,cnx-1))...
+2*E(cnt,cnx)-E(cnt-1,cnx)*(1-sig(cnx)*mu0*dt*c^2/2/eps(cnx));
E(cnt+1,cnx)=E(cnt+1,cnx)/(1+sig(cnx)*mu0*dt*c^2/2/eps(cnx));
end
end
%-----------visualisation of the results
%-------- Fig.1 - 2D electrical field E(x,t), eps(x)*1e-9
%-------- Fig.2 - electrtrical field E(t) at distant XP
t=(0:NT-1)*dt;
x=(0:NX-1)*dx;
figure
pcolor(x,t,E(:,:))
shading interp
colorbar
hold on
plot(x,eps*1e-9,'w')
xlabel('X, m')
ylabel('T, sec,eps*1e-9')
hold off
pause(3)
amp=zeros(NT);
xs=round(XP/dx);
for cnt=1:NT
amp(cnt)=E(cnt,xs);
end
figure
plot(t,amp,'k')
hold on
xlabel('T. sec')
hold off
Рис.1 Отражение сигнала от резкой границы между слоем с
и слоем с
.
Рис.2 Волновая функция электрического поля на глубине 0.8 м . Второй сигнал, отраженный от более плотного слоя, имеет обратную полярность по отношению первому, падающему.
Результаты расчетов представлены графически на рис.1 и рис.2
Рис.1 показывает волновую функцию в координатах
,
амплитуда функции отображается цветом. Соотношение между значениями функции и цветом указано в правой
части рисунка. На том же рисунке белой линией дополнительно указана зависимость диэлектрической проницаемости
от глубины, в этом случае ось времени
отображает ее значения с коэффициентом пересчета, указанном на этой оси.
На рис.2 приведено сечение двумерной функции амплитуды в относительных единицах для глубины, задаваемой в программе параметром XP.
Программа позволяет задавать два слоя с различными параметрами среды
.
Ширина границы между слоями определяется параметром Delta. В зоне границы диэлектрическая проницаемость и проводимость задается с помощью линейной интерполяции. При Delta =0 параметры среды меняются скачком.
В силу необходимости ограничить зону расчета по оси
,
на границах при
и при
X заданы нулевые граничные условия, что эквивалентно заданию на этих расстояниях идеально отражающей границы.
Сигналы, отраженные от этих границ, так же наблюдаются на рисунках.
4. Отражение и прохождение радиоимпульса через резкую границу раздела двух непроводящих сред.
Распространяющаяся волна испытывает отражение только от тех участков подземной среды, в которых наблюдается пространственное изменение ее параметров: диэлектрической проницаемости
,
проводимости
или обеих величин сразу.
При нормальном падении волны на резкую границу коэффициент отражения в непроводящих средах имеет вид
(12)
Величина
называется показателем преломления, она определяет скорость распространения волны
в материальной среде
(13)
Из (12) следует, что коэффициент отражения может быть как положительным, так и отрицательным. Если
,
т.е. волна падает из менее оптически плотной среды в более плотную (например, из сухого песка в глину),
коэффициент отражения отрицателен. При
он имеет положительное значение. В первом случае отраженный от границы сигнал «переворачивается», т.е.
умножается на отрицательную величину, во втором случае повторяет форму, которую он имел до отражения.
(Термином «оптическая плотность» в оптике называют показатель преломления. Мы будем пользоваться этим термином далее, опуская определение «оптическая».)
Первый случай (падение на границу с более плотной средой) показан на рис.1 и рис.2. На рис.2 видно, что второй отраженный от границы на глубине 1.5 м .) сигнал «перевернут» относительно первого, падающего сигнала. Третий сигнал возник из-за отражения от верхней границы и «перевернут» дважды, т.е. находится в «фазе» с падающим. Показанные на этих рисунках результаты полностью соответствуют тексту приведенной выше программы, включая изменяемые параметры.
На рис.3 и рис.4 приведен второй случай, т.е. падение волны на границу из более плотной в менее плотную среду. Здесь слои поменяны местами:
.
На рис.4 видно, что отраженный сигнал имеет ту же полярность (или «фазу»), что и падающий.
Рис.3 Отражение сигнала от резкой границы между слоем с
и слоем с
.
Рис.4 Волновая функция электрического поля на глубине 0.8 м . При падении волны из более плотной среды в менее плотную, отраженный от границы сигнал (второй на рис.) имеет ту же полярность, что и падающий.
Коэффициента прохождения
при вертикальном падении в непроводящей среде имеет вид:
(14)
Заметим, что коэффициент отражения
(12) и коэффициент прохождения
(14) связаны соотношением
.
Из формулы (14) следует, что прошедший импульс всегда сохраняет полярность падающего, в чем можно убедиться на рис.5,6 для двух ранее рассмотренных случаев падения волны.
Рис.5 Волновая функция прошедшего через границу импульса на глубине 2 м . Падение из менее плотной в более плотную среду (рис.1). Полярность импульса не изменилась.
Рис.6 Волновая функция прошедшего через границу импульса на глубине 2 м . Падение из более плотной в менее плотную среду (рис.3). Полярность импульса не изменилась.
5. Отражение и прохождение радиоимпульса через плавную границу раздела двух непроводящих сред.
Понятие резкой или плавной границы перехода между слоями определяется по соотношению между линейным размером переходной области
и характерным пространственным размером осцилляции зондирующего импульса
в момент прохождения границы. Если
,
мы имеем случай резкой границы. Если размер переходной области соизмерим или больше характерного размера
осцилляции зондирующего импульса – это случай плавной границы. В георадиолокации, когда
имеет величину единицы – десятки сантиметров, для геологических слоев чаще всего встречается
случай плавной границы (например, переход песка в глину и наоборот), что обусловлено геологическими
процессами. Резкая граница наблюдается, в основном, при отражении от искусственных подземных
объектов и сооружений.
В случае плавной границы, даже при нормальном падении волны, простые общеизвестные формулы (12), (14) не всегда приемлемы даже для оценочных вычислений. Теория прохождения и отражения импульса от плавной границы произвольной формы довольно сложна, ее можно найти, например, в монографии [3], мы же ограничимся констатацией основных качественных свойств сигналов на основе численного моделирования. За основу возьмем уже рассмотренный случай падения волны на резкую границу между слоями с
и
(рис.1,2,5). Все параметры задачи останутся прежними, мы изменим только ширину границы,
определяемую параметром Delta . Пусть Delta=0.3 м.
Рис.7 Отражение и прохождение сигнала через плавную границу шириной 0.3 м
Из рис.8 следует, что плавная граница искажает сигнал, преобразуя его форму. Эти искажения определяются конкретным видом функции перехода. Общей чертой для всех видов функции плавной границы является «растягивание» по времени отраженного импульса, что важно учитывать при анализе георадарных данных.
Практически всегда пришедшие из-под земли сигналы по длительности больше, чем зондирующий импульс. Чаще всего причиной этого является отражение от плавной границы. Возможны и другие механизмы «растягивания» импульса, о которых речь пойдет ниже.
Сравнивая рис.9 для прошедшего через плавную границу импульса и рис.5 для импульса, прошедшего через резкую границу, можно говорить об их практической идентичности по форме. Это имеет большое значение при анализе георадарных данных. Дело в том, что зондирующий импульс в общем случае может последовательно отражаться от многих слоев. Сохранение формы прошедшего через очередной слой импульса позволяет анализировать вид конкретной отражающей границы независимо от соседних границ (здесь мы не говорим об амплитуде и времени задержки сигнала, которые определяются не только границей, но и параметрами однородного слоя).
Рис.8 Волновая функция отраженного от плавной границы сигнала на глубине 0.8 м . Второй, отраженный от плавной границы сигнал, имеет обратную полярность, как и при резкой границе между слоями. Форма отраженного сигнала изменилась, он «растянулся» по времени.
Рис.9 Волновая функция прошедшего через плавную границу сигнала на глубине 2 м. Полярность осталась прежней, форма импульса практически не изменилась.
6. Влияние проводимости среды на распространение радиоволн.
Проводимость среды
присутствует в волновом уравнении (8) как коэффициент перед первой производной по времени,
которая, как известно, определяет диссипацию (поглощение) волновой энергии. Собственно говоря,
диссипативный член и ограничивает все возможности подземной радиолокации, включая глубину
зондирования и пространственное разрешение (при
радиоволны в среде не затухают, а это означает возможность достижения любой глубины и любого разрешения).
Для выяснения особенностей распространения радиоволн в проводящей среде перейдем из временной области в частотную, поскольку это упрощает дальнейшие выкладки. С этой целью решение волнового уравнения (8) будем искать в виде затухающей монохроматической волны
(15)
Здесь
- коэффициент затухания,
- волновое число,
- круговая частота.
Подставим (15) в исходное уравнение (8) и получим новое уравнение, связывающее параметры волны (15) с проводимостью среды
.
(16)
Приравнивание нулю действительной и мнимой частей (16) приводит к биквадратному уравнению
(17)
Решение уравнения (17) записывается как
(18)
Знаки перед корнями выбраны из условия физической реализуемости результата.
Рассмотрим две асимптотики функции (18): низкочастотную (
) и высокочастотную (
).
В области низких частот коэффициент затухания выражается формулой
(19)
В области высоких частот коэффициент затухания выражается другой формулой
(20)
В этих двух предельных случаях проводимость среды влияет на распространение радиоволн по-разному.
В области низких частот затухание зависит от частоты и при ее снижении может быть сколь угодно малым.
Но в этом диапазоне широкополосные сигналы испытывают дисперсию, т.е. искажение своей формы.
В области высоких частот затухание не зависит от частоты, что приводит при распространении радиоимпульса
только к уменьшению его амплитуды без изменения формы.
Частота, разграничивающая эти два механизма распространения радиоволн, зависит от проводимости и
диэлектрической проницаемости среды:
(21)
или для циклической частоты
(21а)
Например, при
и
,
разграничивающая частота
.
Такие параметры среды характерны для Подмосковья.
Приведем формулу (20) к более привычному виду, выражающему погонное затухание
в децибелах на метр.
(20а)
В реальной ситуации породы, составляющие геологические слои, могут иметь зависимые от частоты параметры
,
что надо учитывать при оценках затухания волн [4].
Покажем на численных примерах влияние проводимости среды на распространение электромагнитного импульса.
Зададим в зоне расчета однородную среду с диэлектрической проницаемостью
и будем наблюдать за формой импульса, проходящего на глубине 0.8 м ., в зависимости от проводимости
.
На рис.10-11 приведен пример распространения без затухания (
).
На рис.12-13 показан «высокочастотный» характер влияния проводимости на форму импульса. Здесь проводимость
влияет в основном на его амплитуду, форма импульса остается практически без изменений.
Рис.14-15 демонстрируют влияние сильной проводимости «низкочастотного» типа, приводящей не только
к уменьшению амплитуды, но и к сильному искажению импульса, которое проявляется в виде появления
длинных «тянучек». Такая ситуация довольно часто наблюдается на практике, когда проводимость резко
возрастает, например во влажных засоленных почвах. Длинный «хвост» от верхних границ проводящих
слоев может в этом случае маскировать сигналы от нижних границ, если георадар не имеет достаточного
количества уровней квантования по амплитуде. Один из возможных выходов из этой ситуации – переход
на более короткий импульс зондирования, для которого реализуется «высокочастотный» механизм распространения,
когда «хвосты» не возникают. В большинстве георадаров это осуществляется заменой антенн на более высокочастотные.
Рис.10 Прохождение импульса в однородной среде без затухания (
)
Рис.11 Форма импульса в однородной среде без затухания на глубине 0.8 м.
Рис.12 Прохождение импульса в однородной среде с проводимостью
.
Рис.13 Форма импульса на глубине 0.8 м . Проводимость
для заданного импульса приводит только к уменьшению амплитуды, форма его практически не изменяется.
Рис.14 Прохождение импульса в однородной среде с
Рис.15 Форма импульса на глубине 0.8 м . Проводимость
сильно искажает форму импульса, у него появляется низкочастотный «хвост».
Как мы уже упоминали, изменение проводимости, как и изменение диэлектрической проницаемости, приводит к отражению радиоволн. Здесь, как и при изменении диэлектрической проницаемости, действуют похожие законы: прошедший через границу импульс не меняет полярности, отраженный от границы с более проводящей средой импульс меняет полярность, и отраженный от границы со средой меньшей проводимости так же не меняет полярности. Но следует помнить, что процессы отражения и прохождения через границу здесь происходят на фоне процессов затухания и дисперсионных искажений, рассмотренных выше. Покажем численные примеры отражения волн от границ изменения проводимости. В этих примерах диэлектрическая проницаемость обоих слоев задана одинаковой
.
Граница между слоями проходит на глубине 1.5 м .
Рис.16 Падение импульса из среды с проводимостью
в непроводящую среду.
Из рис.16-17 видно, что отраженный сигнал имеет полярность падающего, поскольку отражается от менее проводящей среды. На рис.18-19 демонстрируется другой случай – падение на слой с повышенной проводимостью. Здесь отраженный импульс поменял полярность по отношению к падающему.
Рис.17 Форма отраженного импульса на глубине 0.8 м . При падении импульса из проводящей среды в непроводящую, полярность его сохраняется. Отраженный сигнал более искажен, чем первый, падающий, поскольку дольше взаимодействует с проводящей средой.
Рис.18 Падение импульса из непроводящей среды в проводящую с
.
Рис.19 Форма отраженного импульса на глубине 0.8 м . Он имеет обратную полярность по сравнению с падающим (первым) импульсом.
7. Заключение.
Кратко сформулируем основные законы электродинамики, рассмотренные в статье.- Электромагнитная волна отражается только от тех участков среды (границ), где существует изменение диэлектрической проницаемости, проводимости или обоих параметров вместе.
- Прошедший через границу сигнал имеет меньшую амплитуду, но сохраняет свою полярность и форму.
- Отраженный от более плотной или более проводящей среды сигнал меняет свою полярность.
- Отраженный от менее плотной или менее проводящей среды сигнал не меняет своей полярности.
- тражение от плавной границы сигнал «растягивается» по времени.
- Слабая проводимость приводит только к «затуханию» сигналов, в то время как сильная приводит, дополнительно, к их дисперсионному искажению. В частности, появляются низкочастотные «хвосты».
8. Литература.
1. Баскаков С.И. Основы электродинамики. – М.: Советское радио, 1973.- 248 с.2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. – М.: Мир, 1975. - 392 с.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. – М.: Наука, 1973. – 344 с.
4. Владов М.Л., Старовойтов А.В. Георадиолокационные исследования верхней части разреза. –М.: МГУ, 1999. - 92 с.
